Question

利用导数的定义，求函数y=1/x^2+2在点x=1处的导数

Answer 1

设，x0=-1，在x0处，x取得增量δx，
于是；函数增量δy=
f(x0+δx)-f(x0)=2(x0+δx)+1-2x0+1=2δx
f'(x0)=lim(δy/δx),
(δx趋于0）
f'(x0)=lim(2δx/δx)=2
即，y=2x+1在x=-1处的导数为；f'(-1)=2
其实普遍的看；
直线y=ax+b,（令b=0，就是y=kx的形式）有；
δy=a(x0+δx)+b-ax0+b=aδx
f'(x)=lim(aδx/δx)=a
(δx趋于0）
即是，直线的导数就是常数a。
这是导数中最基本的公式之一，必须要掌握的。

Answer 2

解：在
x=1+dx
出
y=1/（x+dx）^2+2
dy/dx
=[1/（x+dx）^2+2
-1/x^2+2]/dx
=[1/（x+dx）^2
-1/x^2]/dx
=[(x^2-(x+dx)^2/（x+dx）^2
/
x^2]/dx
={[x^2-x^2-2x
dx-（dx）^2]/（x+dx）^2
/
x^2}/dx
={[-2x
dx
-（dx）^2]/（x+dx）^2
/
x^2}/dx
当dx
无穷小时
因为
（dx)^2相对于
2xdx
为
无穷小，
所以
(-2x
dx
-（dx）^2≈2x
dx
同样
x+dx
≈x
dy/dx
=(-2x
dx)/x^2
/
x^2}/dx
=(-2dx)/x^3/dx
=
-2/x^3
也可以
把dx
用一个无穷小δ
来代替。同样可以求解