Question

如图,在Rt三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点P,Q在斜边AB上,且∠PCQ=45°。求证PQ的平方=AP∧2+BQ∧2

Answer 1

pq^2=cq^2+pc^2-2^(1/2)cq*pc
同理有bc,bq,qc
;ac,ap,pc的关系
三式化简（ac=bc）有
pq^2=ap^2+bq^2+2^(1/2)(ac*qp-cq*cp)
又三角形qpc与三角形qca相似
有ac*qp-cq*cp=0

Answer 2

证明：过点B作BG⊥AB，取BG＝AP，连接CG、GQ
（注：G与C在直线AB的同一侧）
∵∠ACB＝90,AC＝BC
∴∠A＝∠ABC＝45
∵BG⊥AB
∴∠ABG＝90,GQ²＝BG²+BQ²
∴∠CBG＝∠ABG-∠ABC＝45
∴∠A＝∠CBG
∵BG＝AP
∴△CBG≌△CAP
（SAS）
∴∠BCG＝∠ACP，CG＝CP
∵∠PCQ＝45
∴∠BCQ+∠ACP＝∠ACB-∠PCQ＝45
∴∠GCQ＝∠BCQ+∠BCG＝∠BCQ+∠ACP＝45
∴∠GCQ＝∠PCQ
∵CQ＝CQ
∴△PCQ≌△GCQ
（SAS）
∴PQ＝GQ
∴PQ²＝AP²+BQ²
望被采纳