Question

求球面x^2+y^2+z^2=6上某点的切平面方程，使之过已知直线L：（x-2)/(-1)=(y-1)/1=(z-2)/(-1)

Answer 1

解：设直线L的平行线：(2-x)=(y-1)=(2-z)=k，代入球方程有：(2-k)²+(1+k)²+(2-k)²=6，化简得：k²-2k+1=0，Δ=0，k=1；也就是说直线L本身就是球的切线。
现在，可以找出L在点(1,2,1)的垂线方程l，且l与球也有且仅有(1,2,1)的公共点。
然后，L与这条垂线所在的平面就是要求的切平面。

Answer 2

解：∵αz/αx=x，αz/αy=2y
∴曲面z=x²/2+y²在任意点(x,y,z)处切平面的法向量是(x,2y,-1)
∵此切平面垂直于直线l，且直线l的方向向量是(2,2,1)
∴向量(x,2y,-1)与向量(2,2,1)对应成比例，即取x=-2，y=-1
把x=-2，y=-1代入z=x²/2+y²，得z=3
故
所求切平面方程是2(x+2)+2(y+1)+(z-3)=0，即2x+2y+z+3=0。