Question

数学不等式证明

Answer 1

左边=lgn的平方
右边=lg（n+1+n-1）=lg（2n）
因为n大于2
所以n的平方大于n的二倍（理由：一个数乘以2肯定比乘以一个比2大的数小）
又因为y=lgx是个增函数，所以lgn的平方大于lg2n
因此原不等式成立
（有些数学符号我不知道怎么打，所以解题过程有些啰唆，请谅解）

Answer 2

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因为0<a<1,0<b<1,0<c<1,所以√((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
即√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2(*)
又因为√((1-a)b)小于等于(1-a+b)/2,√((1-b)c)小于等于(1-b+c)/2,√((1-c)a)小于等于(1-c+a)/2,所以√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)小于等于3/2,这与√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2(*)矛盾,假设不成立,故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/

Answer 3

因为n>2,所以lgn为增函数，且为凹函数。所以（lg(n+1)+lg(n-1))/2<lgn
所以
将lgn=(lg(n+1)+lg(n-1))/2代入lgnlgn>lg(n+1)+lg(n-1)
化简可得（放缩法）
[lg(n+1)-lg(n-1)]^2>0
恒成立
所以不等式成立

Answer 4

欲证上不等式，只需证lg2
n大于
lg
2n，需证n平方大于2n（不等式两边同时去掉lg）又n大于2
所以不等式可证明