Question

如图,已知抛物线与X轴交于点A(-2,0),B(4,0),与Y轴交于点C(0,8)

Answer 1

由A、B两点可知抛物线的对称轴为x=1，设抛物线的方程式为y=a(x-1)^2+b，代入B、C坐标可解得a=-1,b=9,抛物线解析式为y=-(x-1)^2+9=-x^2+2x+8,顶点D的坐标为（1，9）
由C、D坐标可求出直线CD的解析式为x-y+8=0，线段OB的垂直平分线为x=2,设存在P(2,m)令P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离，
那么有√(4+m^2)=|2-m+8|/√2，m^2+20m-92=0,解得m=-10±8√3
形如y=a(x+b)^2+c的抛物线沿其对称轴平移时,a与b均不变，只有c变
可得到F(4,12),抛物线最多可向下平移到与直线CD:y=x+8相切为止，此时两者只有一个交点，联立y=-(x-1)^2+b与y=x+8消去y,得到x^2-x+9-b=0只有一个根，求出b=9-1/4=35/4，向下最多平移四分之一个单位长度
向上平移最多可至抛物线过E点，即(-8,0)在y=-(x-1)^2+b上，解得b=81，向上最多可平移(81-9=)72个单位长度

Answer 2

有一这题的，题一样，第二问不一样，一三问一样，参考下吧，实在懒得手打了
如图，已知抛物线与x轴交于点a（-2，0），b（4，0），与y轴交于点c（0，8），
（1）试求抛物线的解析式；
（2）设点d是该抛物线的顶点，试求直线cd的解析式；
（3）若直线cd交x轴于点e，过点b作x轴的垂线，交直线cd于点f，将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段ef总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
分析：（1）设出交点式，把点c坐标代入即可求解；
（2）设出直线解析式，把c，d两点坐标代入即可求解；
（3）向上平移时，把点e，f坐标代入设出的函数解析式求得最大范围即可；向下平移时，设出相应的二次函数解析式，与直线解析式组成方程组，让判别式为非负数求值即可．
解答：解：（1）抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），
∵抛物线与y轴交于点c（0，8），
∴-8a=8，解得a=-1，
∴y=-x2+2x+8；
（2）∵y=-x2+2x+8，
∴顶点坐标为（1，9），
设过cd的解析式为y=kx+b，
∴b=8，k+8=9，
解得k=1，
∴过cd的解析式为y=x+8；
（3）易得点e的坐标为（-8，0），f（4，12），
①若抛物线向上平移，可设解析式为y=-x2+2x+8+m（m＞0），
当x=-8时，y=-72+m，
当x=4时，y=m，
∴-72+m≤0，m≤72，
∴0＜m≤72；
②若抛物线向下平移，可设解析式为y=-x2+2x+8-m（m＞0），
∴
，
∴x2-x+m=0，
∴△=1-4m≥0，
解得m≤
，
∴抛物线向上最多可平移72个单位长度；向下最多可平移
个单位长度．