Question

函数既是凸函数 又是凹函数 证明该函数是线性函数

Answer 1

证明：

函数f(x)在定义域内连续，
在定义域内，任意设两点x1,x2，(x1≠x2)
根据凸函数的性质，
f(x1)+f(x2)≧f(x1+x2)/2
再根据凹函数的性质，
f(x1)+f(x2)≦f(x1+x2)/2
因此，f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)/2，
满足这样条件的f(x)一定可以写成，f(x)=ax+b。
故，f(x)是线性函数。

数学：

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

Answer 2

分析，
要加上条件：函数在定义域内连续。
f(x)是凸函数，又是凹函数，证明：f(x)一定是线性函数。
证明：
函数f(x)在定义域内连续，
在定义域内，任意设两点x1,x2，(x1≠x2)
根据凸函数的性质，
f(x1)+f(x2)≧f(x1+x2)/2
再根据凹函数的性质，
f(x1)+f(x2)≦f(x1+x2)/2
因此，f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)/2，
满足这样条件的f(x)一定可以写成，f(x)=ax+b。
故，f(x)是线性函数。