Question

高中数学导数的定义理解

Answer 1

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
导数定义
[1]（一）导数第一定义：设函数
y
=
f(x)
在点
x0
的某个领域内有定义，当自变量
x
在
x0
处有增量
△x
(
x0
+
△x
也在该邻域内
)
时，相应地函数取得增量
△y
=
f(x0
+
△x)
-
f(x0)
；如果
△y
与
△x
之比当
△x→0
时极限存在，则称函数
y
=
f(x)
在点
x0
处可导，并称这个极限值为函数
y
=
f(x)
在点
x0
处的导数记为
f'(x0)
,即
导数第一定义
（二）导数第二定义：设函数
y
=
f(x)
在点
x0
的某个领域内有定义，当自变量
x
在
x0
处有变化
△x
(
x
-
x0
也在该邻域内
)
时，相应地函数变化
△y
=
f(x)
-
f(x0)
；如果
△y
与
△x
之比当
△x→0
时极限存在，则称函数
y
=
f(x)
在点
x0
处可导，并称这个极限值为函数
y
=
f(x)
在点
x0
处的导数记为
f'(x0)
,即
导数第二定义
（三）导函数与导数：如果函数
y
=
f(x)
在开区间
I
内每一点都可导，就称函数f(x)在区间
I
内可导。这时函数
y
=
f(x)
对于区间
I
内的每一个确定的
x
值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数
y
=
f(x)
的导函数，记作
y',
f'(x),
dy/dx,
df(x)/dx。导函数简称导数。