Question

y=ln(x+√x²+1)是奇函数还是偶函数

Answer 1

y=ln(x+√x²+1)是奇函数。

具体回答如下：

f(x)=ln(x+√(x^2+1))

f(-x)=ln(-x+√(x^2+1))

f(x)+f(-x)

=ln(x+√(x^2+1))+ln(-x+√(x^2+1))

=ln[(x+√(x^2+1))(-x+√(x^2+1))]

=ln[(x^2+1)-x^2]

=ln1

=0

所以f(-x)=-f(x)所以f(x)是奇函数。

函数的单调性：

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

Answer 2

容易看出，x+√(x²+1)
≥
0
对任意
x
成立，所以函数的定义域是整个实数集(此时定义域关于原点对称，定义域不关于原点对称时一定是非奇非偶函数)。
又因为
y
=
f(x)
=
ln(x+√(x²+1))
f(-x)
=
ln(-x+√((-x)²+1))
=
ln(-x+√(x²+1))
=
ln
[1/(x+√(x²+1))]
=
-ln(x+√(x²+1))
=
-f(x).
即
f(-x)
=
-f(x)
，所以
f(x)
是奇函数。