Question

边长为整数且面积等于周长的直角三角形个数

Answer 1

设两条直角边为a，b，斜边为c，
则有面积等于ab/2，周长为a+b+c
2ab=（a+b）²-（a²+b²）=（a+b）²-c²（勾股定理）=（a+b+c）（a+b-c）①
所以面积等于ab/2=2ab/4=①/4=（a+b+c）（a+b-c）/4②
因为ab/2=a+b+c
所以（a+b+c）（a+b-c）/4=a+b+c
所以a+b-c/4=1，所以a+b-c=4，所以a+b-4=c
因为a²+b²=c²=（a+b-4）²=a²+b²+16-8a-8b+2ab
所以a²+b²=a²+b²+16-8a-8b+2ab，所以16-8a-8b+2ab=0，全式约掉2得
ab-4a-4b+8=0，两边同时加8，得ab-4a-4b+16=8
左边十字相乘因式分解得（a-4）（b-4）=8
因为边长为整数，所以a-4=1，2，4，8，-1，-2，-4，-8
所以a=5，6，8，12，0，2，0，-4
因为a＞0，a=5，6，8，12，2
所以b=12，8，6，5，（0舍去），所以a=2也舍去，
所以有两种直角三角形，分别是6，8，10和5，12，13
我打得辛苦，想得辛苦，给点分吧