Question

如图,已知抛物线C₁:y=a(x+2)²-5的顶点P,与X轴相交于A、B(点A在点B左边

Answer 1

（3）∵抛物线C
2
由C
1
绕x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
∴点N的纵坐标为5．
设点N的坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K．
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2FG=2

5
，
∴FG=

5
，点F坐标为（m+

5
，0），点H坐标为（-2，0），点K的坐标为（m，-5）．
根据勾股定理得：
PN
2
=NK
2
+PK
2
=m
2
+4m+104，PF
2
=PH
2
+HF
2
=m
2
+（2

5
+4）m+34+4

5
，NF
2
=5
2
+（

5
）2
=30．
分三种情况：
①∠PNF=90°时，PN
2
+NF
2
=PF
2
，解得m=10

5
-2，
∴Q点坐标为（5

5
-2，0）；
②当∠PFN=90°时，PF
2
+NF
2
=PN
2
，解得m=4

5
-2，
∴Q点坐标为（2

5
-2，0）；
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°．
综上所得，当Q点坐标为（5

5
-2，0）或（2

5
-2，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形