Question

急！已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列

Answer 1

(1)
根据余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，而a,b,c成等比数列，所以b^2=ac
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(a^2+c^2-ac)/2ac
因为a^2+c^2>=2ac，则(a^2+c^2-ac)/2ac>=(2ac-ac)/2ac
故cosB>=0.5，且cosB<=1，所以B的取值范围是(π/3,
π/2)
(2)
将不等式m+sinB<√(2m+1)
-cos(A+C)+29/4整理后可得
m-√(2m+1)<cosB-sinB+29/4,
（因为-cos(A+C)=-cos(π-B)=cosB）
进一步整理：
m-√(2m+1)<√2(√2/2
cosB-√2/2
sinB)+29/4
m-√(2m+1)<√2cos(π/4-B)+29/4
由于cos(π/4-B)的取值范围为[-1,1]，√2cos(π/4-B)+29/4的取值范围即为[-√2
+29/4,
√2
+29/4]
要令题设中不等式恒成立，则m-√(2m+1)必须小于-√2
+29/4
解不等式m-√(2m+1)<-√2
+29/4得：
m∈(33/4-√2
-√(66-8√2),
33/4-√2
+√(66-8√2))
（注意最后那里，是双重根号）
但√(2m+1)必须有意义，m>=-1/2
所以m最终取值范围：[-1/2,
33/4-√2
+√(66-8√2))

Answer 2

呃，我以为两个小问题之间没联系的，看来还是我疏忽了，真不好意思。
根据(1)的结论，(cosB+0.5)^2
∈[1,
9/4],则(cosB+0.5)^2
+6
∈[7,
33/4]
要令不等式恒成立，必须满足m-√(2m+1)<7
整理该不等式可得：m-7<√(2m+1)
分情况讨论：当m<7时，不等式恒成立，但√(2m+1)必须有意义，故m>=-1/2，此时m∈[-1/2,
7)
当m>=7时，解不等式，可得m∈(4,
12)，综合m>=7的条件，可得：m∈[7,12)
所以，m最终的取值范围是：m∈[-1/2,
12)
好像我楼下那位兄台漏了一个端点。