Question

n 若A为正交矩阵，则丨A丨= ，则矩阵A的特征值为

Answer 1

n
若A为正交矩阵，则AA‘=E。那么|A||A'|=1。又因为|A|=|A'|，那么|A|=|A'|=+1或者-1.
设λ是正交矩阵A的特征值,
x是A的属于特征值λ的特征向量
即有
Ax
=
λx,
且
x≠0.
两边取转置,
得
x^TA^T
=
λx^T
所以
x^TA^TAX
=
λ^2x^Tx
因为A是正交矩阵,
所以
A^TA=E
所以
x^Tx
=
λ^2x^Tx
由
x≠0
知
x^Tx
是一个非零的数
故
λ^2=1
所以
λ=1或-1.

Answer 2

正交矩阵满足aa'=e，两边取行列式有|aa'|=|e|=1，而由于|ab|=|a||b|，且|a|=|a'|，因此有|a|^2=1，|a|=±1。