Question

arctanx/(1+x^2)^2的定积分从(0-1)

Answer 1

被积函数是偶函数，原函数（当c=0时）是奇函数
∫(-1→1)x²arctan²x/(1+x²)dx
=∫(-1→1)(1+x²-1)arctan²x/(1+x²)dx
=∫(-1→1)arctan²xdx-∫(-1→1)arctan²x/(1+x²)dx
=2∫(0→1)arctan²xdx-2∫(0→1)arctan²x/(1+x²)dx
∫arctan²xdx积不出（原函数不能用初等函数来表示），相应的定积分只能用数值积分来做
∫(0→1)arctan²xdx≈0.245281
∫(0→1)arctan²x/(1+x²)dx
=∫(0→1)arctan²xd(arctanx)
=[(1/3)arctan³x](0→1)
=(1/3)*(π/4)³
原式≈2*0.245281+2*(1/3)*(π/4)³≈0.813544