Question

紧急求教数学高手几道微分方程的题~~谢谢！

Answer 1

(1)第一个方程属于二阶常系数
齐次
线性微分方程
，其
特征方程
为r^2-
4r
=0,解得r=0或r=4,是两个不相等的实根，所以该方程的通解为y=C1*e^0+C2*e^4=C1+C2*e^4
(2)同理，特征方程为r^2+1=0,解得r=i或r=-i，是一对
共轭复根
，所以通解为y=e^0*(C1*cos(x)+C2*sin(x))=C1*cos(x)+C2*sin(x)
(3)特征方程为r^2-4*r+4=0,解得r=2，此时只能得到方程的一个解为y1=e^2x,还需求出另一个解
y2
，并且要求y2/y1不是常数，设y2/y1=u(x)，即y2=u(x)*e^2x,将y2
求导
，得到：y2'=e^2x*(u'+2u),y2''=e^2x*(u''+
4u
'+4u),带入微分方程得到：u''=0，因为只需要得到一个不为常数的解，不妨选取u=x，所以微分方程的另一个解为y2=x*e^2x,通解为y=C1*e^2x+C2*x*e^2x
(4)这个方程是一阶非
齐次线性方程
，它的通解等于对应的
齐次方程
的通解与非齐次方程的一个特解之和。先求对应的齐次方程的通解。
dy/dx-2y/(x+1)=0
dy/2y=dx/(x+1)
ln(2y)/2=ln(x+1)+ln(C)
y=C^2*(x+1)^2/2
用
常数变易法
，把C^2/2换成u，即令y=u*(x+1)^2
式1
dy/dx=u'*(x+1)^2+2*u*(x+1)
代入原方程，得u'=(x+1)^0.5
两端积分，得u=2/3*(x+1)^1.5+C
代入式1，得到通解为y=(x+1)^2*(2/3*(x+1)^1.5+C)
这符号看起来真别扭。。。还是手写的看起来舒服~~呵呵
所以建议先把这个抄一份再研究哈