Question

已知ABCD是矩形，AD=4，AB=2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥平面ABCD。

Answer 1

（1）证明:连结af
在矩形abcd中
因为ad=4,ab=2,点f是bc的中点
所以∠afb=∠dfc=45°.
所以∠afd=90°,即af⊥fd.
又pa⊥平面abcd
所以pa⊥fd.
所以fd⊥平面paf.
故pf⊥fd.
(2)过e作eh//fd交ad于h,则eh//平面pfd
且ah=1/4ad.
再过h作hg//pd交pa于g,则gh//平面pfd
且
ag=1/4pa.
所以平面ehg//平面pfd,则eg//平面pfd
从而点g满足ag=1/4pa.

Answer 2

（1）证明:连结AF
在矩形ABCD中
因为AD=4,AB=2,点F是BC的中点
所以∠AFB=∠DFC=45°.
所以∠AFD=90°,即AF⊥FD.
又PA⊥平面ABCD
所以PA⊥FD.
所以FD⊥平面PAF.
故PF⊥FD.
(2)过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD
且AH=1/4AD.
再过H作HG//PD交PA于G,则GH//平面PFD
且
AG=1/4PA.
所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD
从而点G满足AG=1/4PA.

Answer 3

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立
直角坐标系
。设P的坐标为(0,0,z)
（1）容易看出F坐标为（2,2,0)，D坐标为(0,4,0)，所以向量FP为（-2，-2，z），FD为（-2，4，0），两个
向量内积
为0，所以PF⊥FD
（2）容易验证向量n=(-2z,-z,-6)与向量FP、FD都垂直。所以要求EG‖平面PFD，只要EG⊥n。
设G坐标为（0，0，g），容易求得g=z/3，即G存在，是PA的两个
三等分点
中靠近A的那个。

Answer 4

连接ac，取ac中点m，连接fm。
在△pac中，f是pc中点，ac中点m，所以fm//pa，所以fm⊥平面abcd，
即em是fe在平面abcd的投影。
me是△abc中位线，所以me//bc，所以me⊥ab，∴fe⊥ab
即∠
fem即为fe与abcd所成的角
在三角形fme中，fm=pa/2=1,
em=bc/2=1，即△fme为的等腰直角三角形
所以∠
fem
=45度