Question

求1+1/2²+/3²+……+1/n²＜2-1/n

Answer 1

用数学归纳法证明：1
+
1/2²
+
1/3²
+
……
+
1/n²
≥
3n
/
(2n+1)
(1)
当
n=1时
左端
=
1
右端
=
3/3
=
1，
因为
1
≮1
，所以≥成立；
籂郸焚肝莳菲锋十福姜(2)
假设
当n
=
k时等式成立，即
1
+
1/2²
+
1/3²
+
……
+
1/n²
≥
3n
/
(2n+1)
①
则当n=k+1时，要证下式也成立
1
+
1/2²
+
1/3²
+
……
+
1/n²
+
1/(n+1)²
≥
3(n+1)
/
(2(n+1)+1)
=
3(n+1)
/
(2n+3)
1
+
1/2²
+
1/3²
+
……
+
1/n²
+
1/(n+1)²
=
[1
+
1/2²
+
1/3²
+
……
+
1/n²
]
+
1/(n+1)²
≥
3n
/
(2n+1)
+
1/(n+1)²
（这步是由①式而来)
下面只要证明
3(n+1)
/
(2n+3)
-
3n
/
(2n+1)
≤
1/(n+1)²
事实上，3(n+1)
/
(2n+3)
-
3n
/
(2n+1)
=
3
/
[(2n+3)
*(2n+1)]
=
3/(4*n^2+8*n+3)
≤
1/(n+1)²
?????似乎不成立的
所以当n=k+1时等式也成立。
∴对于一切自然数
都有1
+
1/2²
+
1/3²
+
……
+
1/n²
≥
3n
/
(2n+1)
成立

Answer 2

证明:【2[根号下(n+1)-1]】＜【1+1/根号2+1/根号3+……+1/根号n】＜【2根号n】
（1÷根号n）=（2÷2根号n）<（2÷（根号n+根号n-1））
=2*（根号n-根号n-1）
由上面的公式得
1<2*（根号1-根号0）
1/根号2<2*（根号2-根号1）
1/根号3<2*（根号3-根号2）
........
（1÷根号n）<2*（根号n-根号n-1）
所以不等式相加
1+1/根号2+1/根号3+……+1/根号n<2*（根号n-根号0）=2根号n
（1÷根号n）=（2÷2根号n）>（2÷（根号n+根号n+1））
=2*[根号(n+1)-根号n]
1÷根号1>2*(根号2-根号1)
1÷根号2>2*(根号3-根号2)
1÷根号1>2*(根号4-根号3)
......
1÷根号n>2*(根号n+1-根号n)
所以不等式相加
1+1/根号2+1/根号3+……+1/根号n>2*（根号n+1-根号1）=2*（根号(n+1)-1）