Question

等价无穷小和泰勒公式有什么区别

Answer 1

可以用泰勒公式求等价无穷小。
比如e^x-1~x
实际过程是这样求得的:
e^x
在x=0用泰勒公式展开到二阶:e^x=1+x+(1/2)x^2+o(x^2)
所以e^x-1=x+(1/2)x^2+o(x^2)
显然:lim(x→0)
[x+(1/2)x^2+o(x^2)
]/x=1
所以e^x-1~x
类似sinx~x,
tgx~x,
1-cosx~(1/2)x^2,
ln(x+1)~x,
(1+x)^n-1~nx,
都可以用麦克劳林公式展开求得。
求极限时经常用等价无穷小来代换，但这种代换一般仅仅适用于因式之间的代换，对于加减运算来说则不适用，此时泰勒公式的展开式代换则可以发挥作用。

Answer 2

1、等价无穷小代换不是正宗的、独立的、国际认可的解题方法；
2、等价无穷小代换，是将麦克劳林级数展开式，窃取了第一项后，
拿来鱼目混珠的方法，是巧立名目的偷梁换柱的勾当！
3、麦克劳林级数展开，是将函数在原点附近展开；
泰勒级数展开，是将函数在其他点的附近展开。
我们的教学历来都是将两者混为一谈；
国际教学中，也有混为一谈的情况发生，但没有我们这样严重。
4、等价无穷小代换的理论基础是麦克劳林级数展开，
麦克劳林级数展开，没有自残自宫条件；
等价无穷小代换，有自残自宫条件：有加减时不能使用。
其实在加减时，有时可以，有时不可以。
因为我们在引入等价无穷小代换时是牵强附会的，
所以前倨后恭、始乱终弃是必然的，是我们的性格决定的。
5、【楼主问题的解答】：
A、用麦克劳林级数展开公式、用泰勒级数展开公式，放之海内外而皆准；
用等价无穷小代换，放之海内时而准、时而不准，放之海外而皆不准。
B、泰勒级数、麦克劳林级数，是严格的、普遍的，没有穿凿附会的自我阉割条款；
用投机取巧的、偷鸡摸狗的、鱼目混珠的等价无穷小代换时，有自我阉割条款：
【在加减时，不可以使用等价无穷小代换】。
这句话是掩耳盗铃、自欺欺人的；是言不由衷、色厉内荏的；
是出尔反尔、自打耳光的。
我们在有加减时，有时照样进行等价无穷小代换。