Question

平面上有9条直线，任意两条都不平行，能使它们出现29个交点吗？如果不能请说明理由，如果能，怎么安排？

Answer 1

若任意两条都不平行，则直线是亮亮相交的，所以需要分析几条直线共有公共点的情况
这个题的29个交点，显然，全部两两相交没有公共点的情况是：1+2+……+8=36个，所以从别的情况考虑
当有1组N条直线有一个公共点的情况。
我们可以分析一下，我们先画出这N条线，然后再画一般的线，当我们计算交点的时候，最后一条线的交点是8个
倒数第二条线的交点是7个，倒数第三条线的交点是6个……
那么我们会发现，当N=5时，交点数是1+5+6+7+8=27个
N=4时，交点数是1+4+5+6+7+8=31个，没有出现29个的情况，所以一个公共点的大前提下是不符合题意的。
再分析有2组直线有两个公共点的情况
这种情况下，设两组直线分别为m条
n条，当刚画好这两组直线时，交点数为2+m*n条，则根据合理分析可知，当m=3
n=4时，交点数为2+3x4+7+8=29个
故当有3条直线经过一个公共点
另外4条直线经过另一个公共点，且还有两条直线与其他7条直线无差别地两两相交时，会出现29个公共点。
语言叙述比较麻烦，慢慢看吧，画图更难。。。

Answer 2

先取1个点a,
过a作4条直线.
再取1个点b,
不落在之前的4条直线上.
过b作3条直线,
使它们不过a点且与之前的4条直线都相交.
这样共有7条直线,
1+1+3·4
=
14个交点.
取第8条直线,
不经过已有的交点并与前7条直线都相交.
交点数达到14+7
=
21.
最后取第9条直线,
不经过已有的交点并与前8条直线都相交.
于是这9条直线两两相交,
且共有交点21+8
=
29个.
构造思路是这样的.
若9条直线两两相交,
且交点不重合,
应有9·8/2
=
36个交点.
当k条直线过同一个点,
相当于k(k-1)/2个交点重合为1点,
交点数减少k(k-1)/2-1.
为了减少36-29
=
7个交点,
可以引入1组4线共点(减少5个)和1组3线共点(减少2个).