Question

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=[3^x/(9^x+1)]-1/2.

（1）判断并证明函数在（-∞,0）的单调性。（2）求函数的值域。（3）求f(x)>1/3的解集。

Answer 1

因为x<=0时，f(x)=3^2/(3^2x+1）-1/2，设t=3^x，则0<t<1
所以f(t)=t/(t^2+1)-1/2
现在f'(t)=（t^2+1-2t^2)/(t^2+1)^2=(1-t)/(t^2+1)^2
令f'(t)=0，即1-t^2=0，则t=1。
则在(0，1)上，f'(t)>0
所以f(x)在（-无穷大，0）上是单调递增的。

第二问，由于f(x)+1/2=3^x/(3^2x+1)，记z=f(x)+1/2 (x<=0)
则1/z=3^x+1/3^x 此为双勾函数的一种，
所以1/z是在区间[1，+无穷大）内，即0<z<=1，由此可得-1/2<f(x)<=1/2 (x<=0)
因为f(x)为奇函数，
所以f(x)的值域为[-1/2，1/2]
第三问， 在x=<0上考虑，f(x)>1/3或f(x)<-1/3的x的取值
3^x/(3^2x+1)-5/6>0与3^x/(3^2x+1)-1/6<0
呵呵，自己解一下吧。。

Answer 2

判断并证明函数在（-∞,0）的单调性。
用定义做
设a<b<0
f(a)-f(b)=(3^a)/(9^a+1)-(3^b)/(9^b+1)通分
=[3^a(9^b+1)-3^b(9^a+1)]/(9^a+1)(9^b+1)
=[3^a(3^2b+1)-3^b(3^2a+1)]/(9^a+1)(9^b+1)
=[3^(a+2b)+3^a-3^(2a+b)-3^b]/(9^a+1)(9^b+1)
=[3^b(3^(a+b)-1)+3^a(1-3^(a+b))]/(9^a+1)(9^b+1)
=[3^(a+b)-1][3^b-3^a]/(9^a+1)(9^b+1)

因为a<b<0
所以a+b<0,3^(a+b)<3^0=1,3^(a+b)-1<0,3^b<3^a,3^b-3^a<0
[3^(a+b)-1][3^b-3^a]>0
(9^a+1)(9^b+1)>0
所以f(a)-f(b)>0
f(a)>f(b)
a<b

所以在x小于0时递减