Question

已知2X+Y=1，求XY的最大值

Answer 1

解：

∵2x+y=1

∴y=1-2x
∴xy=x-2x²=-2[x-(1/4)]²+(1/8)≤1/8
当且仅当x=1/4时取得
故(xy)max=1/8

最大值和最小值的求解方法：

1、换元法

把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化。

2、判别式求法

在判别式=0的点可能是最大值和最小值点。

先判断方程有没有根以及有几个根，b^2-4ac<0无根，b^2-4ac=0有两个相等根即一个根，b^2-4ac>0有两个不相等根。

Answer 2

两种方法
①
∵2x+y=1
∴y=1-2x
∴xy=x-2x²=-2[x-(1/4)]²+(1/8)≤1/8
当且仅当x=1/4时取得
故(xy)max=1/8
②由均值不等式知，1=2x+y≥2√(2xy)
∴√(xy)≤√2/4
∴xy≤1/8
当且仅当2x=y时取得，即当x=1/4,y=1/2时取得
故（xy)max=1/8.