Question

已知a,b是不共线的向量 AB=λ1a+b AC=a+λ2b则A,B,C三点共线的充要条件是

Answer 1

ABC共线的条件是AB和AC同方向，也就是他们成比例
所以λ1a+b
=k
(a+λ2b)
所以
λ1
=
k
1
=
kλ2
三个未知量两个方程，此题无唯一解

Answer 2

充要条件要分别证明充分性和必要性：
1
如果a、b、c3点共线
即：ab、ac共线
即：ab=kac
即：λ1a+b=k(a+λ2b)
即：(λ1-k)a+(1-kλ2)=0
a和b不共线，故：λ1=k
1=kλ2，即：λ1λ2=1
2
如果：λ1λ2=1
则：ac=a+λ2b
=a+b/λ1
=(λ1a+b)/λ1=ab/λ1
故：ab、ac共线
即：a、b、c3点共线
故a、b、c3点共线的充要条件：λ1λ2=1