Question

根号（7X^2+9X+13）+根号（7X^2-5X+13）=7X 如何用换元法解此方程？要步骤，谢谢！

Answer 1

由（7X^2+9X+13）+根号（7X^2-5X+13）=7X (式1)
进行分子有理化，左边分子分母同乘[根号（7X^2+9X+13）-根号（7X^2-5X+13）]
化为：14X/[根号（7X^2+9X+13）-根号（7X^2-5X+13）]=7X
7X{2/[根号（7X^2+9X+13）-根号（7X^2-5X+13）]-1}=0
因为X=0不是原方程的根，所以只有
2/[根号（7X^2+9X+13）-根号（7X^2-5X+13）]-1=0
即根号（7X^2+9X+13）-根号（7X^2-5X+13）=2 （式2）
则(式1)+（式2）得：
2*根号（7X^2+9X+13）=7X+2 （式3）
两边完全平方整理得：21X^2-12X-48=0
则X=(2+4根号7)/7或(2-4根号7)/7
而由（式3）得7X+2>=0，则X>=-2/7，而(2-4根号7)/7<-2/7,不符，应舍去。
所以X=(2+4根号7)/7

Answer 2

令m=√(7x^2+9x+13), n=√(7x^2-5x+13)

则m+n=7x

m^2-n^2=(m+n)(m-n)=14x

所以m-n=2

所以m=(7x+2)/2=√(7x^2+9x+13)

平方即可简单求解21x^2-8x-48=0,(3x+4)(7x-12)=0,x=-4/3(不符题意舍去）,x=12/7