Question

计算|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的值．

Answer 1

①当x≤-7时，最小值出现在x=-7，
即原式=10+12+9+6+0=37，
②当-7＜x≤-1时，x到-7与x到-1的距离之和是固定的，即6，最小值出现在x=-1，
即原式=4+6+3+6=19，
③当-1＜x≤2时，将五个式子看作两组．
第一组是x至-7的距离与x至3的距离的和，这个和是固定的，即为10，
第二组是x至-1的距离与x至2的距离的和，这个和也是固定的，即为3，
因此，最小值，就是x与5的距离的最小值，即x=2时，
即原式=10+3+3=16
④当2＜x≤3时，将五个式子看作两组．
第一组是x至5的距离与x至-1的距离的和，这个和是固定的，即为6，
第二组是x至2的距离与x至3的距离的和，这个和也是固定的，即为1，
因此，最小值，就是x与-7的距离的最小值，即x=3时，
即原式=6+1+10=17，
⑤当3＜x＜5时，x到5与x到3的距离的和是固定的，即2，最小值出现在x→3时
即原式=2+1+4+10=17，
⑥当x≥5时，最小值出现在x=5，
即原式=2+0+3+6+12=23，
综上所述，x到各点的距离的和的最小值是16，此时x=2
因此，当x=2是，原式可取最小值，此时原式=16
因此，丨x-3丨+丨x-5丨+丨x-2丨+丨x+1丨+丨x+7丨的最小值=16．