Question

求表面积为a×a而体积最大的长方体体积.

帮忙写解答过程

Answer 1

假设长方体的长宽高分别是x,y,z,体积是v,则
2*(xy
xz
yz)-a^2=0,....(1)由拉格朗日乘数法,
v=xyz
m(2*(xy
xz
yz)-a^2),分别求v关于x,y,z,的偏导数,并令导数等于0,再与(1)式联立求解,三个导数是
yz
2m(y
z)=0,
xz
2m(x
z)=0,
xy
2m(x
y)=0,由于x,y,z都不等于0,由以上三式可得,
x/y=(x
z)/(y
z),y/z=(x
y)/(x
z),由以上两式可得
x=y=z,代入(1)式解得
x=y=z=a/根6,
这是唯一可能的极值点.最大体积是
a^3/(6根6)