Question

(2012•南宁模拟)已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx，g(x)...

(2012•南宁模拟)已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx，g(x)=xe1-x.(a∈R，e为自然对数的底数) (1)当a=1时，求f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在(0，12)上无零点，求a的最小值.

Answer 1

解答:解:(1)当a=1时，f(x)=x-1-2lnx，x＞0，
求其导数可得f′(x)=1-
2
x
，
令1-
2
x
＞0，可得x＞2，令1-
2
x
＜0，可得0＜x＜2，
故此时函数的单调递减区间为(0，2)，
单调递增区间为(2，+∞);
(2)因为f(x)＜0在区间(0，
1
2
)上恒成立不可能，
故要使函数f(x)在(0，
1
2
)上无零点，
只要对任意的x∈(0，
1
2
)，f(x)＞0恒成立，即对x∈(0，
1
2
)，a＞2-
2lnx
x-1
恒成立.
令l(x)=2-
2lnx
x-1
，x∈(0，
1
2
)，则l′(x)=-
2
x
(x-1)-2lnx
(x-1)2
=
2lnx+
2
x
-2
(x-1)2
，
再令m(x)=2lnx+
2
x
-2，x∈(0，
1
2
)，
则m′(x)=
2
x
-
2
x2
=
-2(1-x)
x2
＜0，
故m(x)在(0，
1
2
)上为减函数，
于是m(x)＞m(
1
2
)=2-2ln2＞0，
从而，l′(x)＞0，于是l(x)在(0，
1
2
)上为增函数，
所以l(x)＜l(
1
2
)=2-4ln2，
故要使a＞2-
2lnx
x-1
恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞)，
综上，若函数f(x)在(0，
1
2
)上无零点，则a的最小值为2-4ln2;