已知k>0,函数f(x)=kx^2-lnx在定义域上有两个零点,求k的取值?
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定义域为x>0
f'(x)=2kx-1/x=(2kx²-1)/x
若k≤0，则
2kx²-1＜0，f'(x)＜(2kx²-1)/x＜0﹙∵x＞0﹚，f﹙x﹚在﹙0，﹢∞﹚单调递减，不可能有两个零点，所以k＞0。
由(2kx²-1)/x=0得x=1/√(2k)。﹙∵x＞0﹚
当x<1/√2k时f′(x)<0；当x>1/√2k时f′(x)>0，故x=1/√2k是极小值点。
若函数f(x)=kx^2-lnx在其定义域上有两个零点，则f(1/√(2k))=1/2-ln[1/√(2k)]＜0
即ln[1/√(2k)]＞1/2
1/√(2k)＞√e
2k＜1/e
∴0＜k＜1/(2e)
f'(x)=2kx-1/x=(2kx²-1)/x
若k≤0，则
2kx²-1＜0，f'(x)＜(2kx²-1)/x＜0﹙∵x＞0﹚，f﹙x﹚在﹙0，﹢∞﹚单调递减，不可能有两个零点，所以k＞0。
由(2kx²-1)/x=0得x=1/√(2k)。﹙∵x＞0﹚
当x<1/√2k时f′(x)<0；当x>1/√2k时f′(x)>0，故x=1/√2k是极小值点。
若函数f(x)=kx^2-lnx在其定义域上有两个零点，则f(1/√(2k))=1/2-ln[1/√(2k)]＜0
即ln[1/√(2k)]＞1/2
1/√(2k)＞√e
2k＜1/e
∴0＜k＜1/(2e)
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