Question

珠算的一般公式法

Answer 1

珠心算的公式是大家更好的了解珠心算的方法，那么珠心算公式是什么呢？珠心算公式为将简捷乘算法统一于十字相乘公式之中,进而运用多种方法,简化运算过程,提高计算速度。下面就来看看吧！

　　前面提到，如：27×964、1998×778、999992应怎样计算，才会更为快捷、方便。

　　根据以上原理，笔者研究出补数乘法的一般公式法，暂定为魏氏公式法：

　　(1)设被乘数的最末一位数的补数为a，乘数的补数为b，那么在被乘数的末位的下位加a×b(a×b有进位者，要进到本位);

　　(2)设被乘数去掉尾数后的数为n，那么应从被乘数首位的下位减去(n+1)×b。注意(n+1)×b有进位，从首位减，b前有0位，有几个零应移档向后几位再减，就是：先从尾后加a×b，再在次档减(n+1)×b，这就是补数乘法的一般公式法。

　　利用此公式可以解决以下类别的数乘以任意数的快速计算问题：

　　1、被乘数是两位数的例题;

　　2、被乘数是两位以上的数时，n+1等于齐数或强数的例题。

　　如：例1：27×964=26028(补数036)

　　(1)先在被乘数个位7的下位加上(a×b)，即3×036=108，得27.108;

　　(2)再从被乘数的次高档7的本位减去(n+1)×b，即(2+1)×036，得26028，即是积数。

　　例2：19998×778=15558444(补数222)

　　(1)先在被乘数个位8的下位加上(a×b)即2×222，得19998.444;

　　(2)再从被乘数的次高档减去(n+1)×b即(1999+1)×222，得15558444，即得积。

　　注：实际上，(n+1)×b比原数少了10倍，把(n+1)再扩大10倍后，就是实际需要减的数。如例2：第1步尾下加上444后，可看作 19998444;达到千万位;(1999+1)×222×10=4440000，达到百万位;从19998444中减去 4440000=15558444。

　　以上2例为加填减强法。

　　例3：999992=9999800001(补数为00001)

　　(1) 先在99999的尾数后加00001，得99999.00001;

　　(2) 再在99999的首位减00001;得9999800001;即积。

　　因(n+1)×b有进位，所以从首位减。本例为加补减齐法。利用此一般公式，可以套用任何一道乘法算题，本公式都是正确的。但我们可以从中看出，对于(n+1)等于齐数或强数的例题，实在是简单而又简单，但对于一般的例题，它并不完全显示优越性，实在是一般公式，却适用于特殊情况。那么，在一般情况下呢?

　　(四)、补满法

　　补满法就是把被乘数联成一个整体，被乘数的个位按(10-x)补加补数，中间几位一律按(9-x)补加补数，差几就补几个补数。补到首位时，首位数是x，就从次高位减去(x+1)×b的乘积，分两种情况，如下例：

　　1、加补减齐法

　　例1：9897965×778=7700616770。(补数222)

　　(1) 被乘数个位5加补数半数222的一半111成为：989796.611;

　　(2) 十位6在6的下位加三次补数666成为98979.7277;

　　(3) 百位9不补;

　　(4) 千位7下位加两次补数444，成为989.841677;

　　(5) 万位9不补;

　　(6) 十万位8下位加一次补数222成为9.92061677;

　　(7) 百万位9不补;

　　(8) 从百万位减一次补数222得积:7700616770。

　　2、加填减强法：

　　例2：789×789=622521(补数211)

　　(1) 个位9在下位加上(10-9)×211成为78.9211;

　　(2) 十位8,在下位加上(9-8)×211成为7.91321;

　　(3) 百位7,在7的本位减去(7+1)×211=1688(有进位，从本位减)成为622521，即积。

　　以上介绍的三种方法：口诀法、公式法、补满法都是通用的，套任何一道算题，得数都是一样，归纳起来，也只有两类：

　　口诀法：即逐位减补数法，从个位到首位逐位减去;

　　公式法：即补满法，先补后减法，从个位按10补满，中间按9补满，补完后，从首位(x+1)×b，一次性减去多加的数即得积。

　　用那种方法好呢?这个要灵活掌握，非靠多算多练，方能熟能生巧，做到举一反三、触类旁通。一道例题中，有时用一种，有时用两种，有时也可用三种方法。

　　例如：

　　分节运算法：

　　例1：8979021×668=5997986028(补数332)

　　(1) 被乘数个位1，下减一次补数332，成为897902.0668;

　　(2) 被乘数十位2，下减二次补数664，成为89790.14028;

　　(3) 百位“0”不动;

　　(4) 被乘数千位9下位加一次补数332，成为897.9346028;

　　(5) 被乘数万位7下位加二次补数664，成为85986028;

　　(6) 被乘数十万位9不动;

　　(7) 被乘数百万位8下位加补数一次332，成为9317986028;

　　(8) 再从首位减去一次补数为积数5997986028;

　　例2：12100998×88=1064887824(补数12)

　　(1) 个位8，下位加补数二次24(加a×b)减(n+1)×b从百位减去(99+1)×12。这是998这一节。成为1210087824;

　　(2) 千位、万位零不动;

　　(3) 十万、百万、千万按口诀法规运算即：

　　a、十万位下位减补数一次成为12088887824 ;

　　b、百万位下位减补数两次成为1184887824;

　　c、千万位下位减补数一次得积1064887824。

　　例3：9995=995009990004999

　　999×999=998001

　　1、乘法个位9的下位加001，成为999.001(公式法);

　　2、乘数首位9的本位减001，成为998001。

　　998001×999=997002999
　　1、在1的下位减去001，成为998.00999(口诀法);

　　2、十位、百位零不动;

　　3、千位8，在下位加002，成为998.02999(公式法);

　　4、从首位9减去001，成为997002999(公式法)。

　　997002999×999=996005996001

　　1、被乘数个位9的下位加001，成为997002999.001(公式法);

　　2、从被乘数千位2的下位减003，成为99700.2996001(公式法);

　　3、万位，十万位零不动;

　　4、从百万位7的下位加003，成为997.005996001(公式法);

　　5、从首位9减去001，成为996005996001(公式法);

　　996005996001×999=995009990004999

　　1、从1的下位减去001，成为996005996000.999(公式法);

　　2、十位、百位零不动;

　　3、千位6，下位加004，成为996005996004999(补满法);

　　4、百万位5，下位减006，成为996005.990004999(补满法);

　　5、千万位、亿位零不动;

　　6、十亿位6，下加004，成为996009990004999(公式法);

　　7、从首位减001，成为995009990004999(公式法)。

　　三、“1、2、5”一位数乘法在补数乘法中运用

　　在实际运算中，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、这十个数字是以各种形式出现的，会出现各种形式的算式，比如：168752这种算式，用补数算法应用补满法中加填减强法进行运算，这就出现了补加补数5、2、1、3后减2倍补数的形式，而乘数的补数较为复杂(83125)，这就要求我们掌握一种新的方法：一位数乘多位数的方法，“1、2、5”法对于初学者则是一种既简便又好学的方法。以下简单介绍之：

　　(1)“1”的运算方法，用“1”去乘任何一个数，其值不变;

　　(2)“2”的运算方法，“2”就是要求计算者，能一眼看出任意一个数的2倍是多少。

　　其口诀是：掌握二倍并不难，算盘横梁分界线;

　　首位有5暗记1，左下右上斜着看;

　　梁上没珠加倍算，连续积数一次完。

　　例：567895×2=1135790

　　按照以上口诀方法，把以上数即可分解为：05、05、15、25、35、45六次。

　　为了加快看数的速度，看2倍5的时候，不要看作10，而应作为1;看2倍15的时候……;看2倍45的时候，不要看作90，而应作为9。在熟记这5 个数组的2倍是多少之后，只要看到算盘横梁上面有数，在算盘上采用巧妙的斜看方法，就能很快算出一个多位数的二倍积数。如上例，看的方法：

　　1、斜看高位上珠5，念为“1”;

　　2、斜看次高位上珠5，念为“1”;

　　3、第二位下珠1与第三位上珠5，斜看念“3”;

　　4、第三位下珠2与第四位上珠5，斜看念“5”;

　　5、第四位下珠3与第五位上珠5，斜看念“7”;

　　6、第五位下珠4与第六位上珠5，斜看念“9”，连续读即：1135790。

　　斜看任何一个数2倍的规律是：1念2，2念4，3念6，4念8，5念1，15念3，25念5，35念7，45念9，“0” 念为0。每个数和大于5能分解的数，各增大1倍，连续起来念，就是一个数的二倍数。

　　(3)“5”的运算方法：(5=10÷2)

　　口诀是：掌握5倍是关键，一个数组折半看。

　　一次看两位，先看双数后看单。

　　单数挤到最后看，牢记1、5、15数一半。

　　这就是看5倍的方法。这里，首先要熟记1、5、15这三个数字的一半是多少(在算盘上看时，扩大5倍和缩小2倍，有效数字是一致的)。1的一半是0.5可念5;5的一半是2.5，可念25;15的一半是7.5;可念75。

　　例：123456789×5=617283945

　　1、把被乘数的前两位12分为一个组，它的一半是6;

　　2、把被乘数的三、四位34分为一个组，它的一半是17;

　　3、把被乘数的五、六位56分为一个组，它的一半是28;

　　4、把被乘数的七、八位78分为一个组，它的一半是39;

　　5、把乘数的最后位9，直接看它的一半是4.5，即45。

　　最后把各组的一半数，连续起来，就是要求的5倍数，即617283945。掌握了上述“1、2、5”法的方法后，对于3、4、6、7、8、9等数字的组成，都是以1、2、5为基础的。

　　如：3=1+2，4=2+2，6=1+5，7=2+5，8=10-2，

　　9=10-1。

　　知道了一个数的1、2、5倍是多少了，也就可以知道它的3、4、6、7、8、9倍是多少了。

　　例：16875×16875=284765625

　　(1) 个位5，在本位加(5×83125)415625成为1687.915625;

　　(2) 十位7，在本位加(2×83125)16625成为169.957815;

　　(3) 百位8，在下位加(1×83125)83125成为16.97890625;

　　(4) 千位6，在本位加(2×83125)16625，下位加(1×83125)83125成为1.947265625;

　　(5) 万位1，在本位减(2×83125)16625，成为284765625，即积。

　　四、什么情况下，不用补数

　　科学速算的目的是化繁为简，而绝不能变简为繁。在被乘数和乘数的各位都比较小的情况下，不要勉强用补数。如下例：12123×32321、2002×3003等，此类题用空盘前乘法即可。