Question

求定积分∫ √3 1 dx/x^2√(1+x^2) 答案是√2－(2√3)/3

Answer 1

令x＝tanu,则：sinu＝tanu/√［1＋（tanu）^2］＝x/√（1＋x^2）,dx＝［1/（cosu）^2］du.%D%A∴∫｛1/［x^2√（1＋x^2）］｝dx%D%A＝∫｛1/［（tanu）^2/cosu］｝［1/（cosu）^2］du%D%A＝∫｛1/［（tanu）^2cosu］｝du%D%A＝∫［cosu/（sinu）^2］du%D%A＝∫［1/（sinu）^2］d（sinu）%D%A＝－1/sinu＋C%D%A＝－√（1＋x^2）/x＋C.%D%A%D%A∴∫（上限为√3,下限1）｛1/［x^2√（1＋x^2）］｝dx%D%A＝－√（1＋x^2）/x｜（上限为√3,下限1）%D%A＝－√（1＋3）/√3＋√（1＋1）%D%A＝√2－2√3/3.