Question

有下列命题：①x=0是函数y=x3的极值点；②三次函数f（x）=ax3+bx2+...

有下列命题： ①x=0是函数y=x3的极值点； ②三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有极值点的充要条件是b2-3ac＞0； ③奇函数f（x）=mx3+（m-1）x2+48（m-2）x+n在区间（-4，4）上是单调减函数； ④若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g′（2010）=2009!． 其中真命题的个数有_____ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

Answer 1

D
①因为函数的导数f'（x）=3x2≥0，即函数y=x3单调递增，所以函数无极值，所以①错误．
②三次函数的导数为f'（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），要使函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有极值点，则f'（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），有变号零点，
所以△＞0，即4b2-4×3ac＞0，即b2-3ac＞0，所以②正确．
③因为f（x）=mx3+（m-1）x2+48（m-2）x+n为奇函数，所以m-1=0且n=0，所以m=1且n=0，所以函数f（x）=x3-48x．
f'（x）=3x2-48=3（x2-16），当x∈（-4，4）时，f'（x）＜0，此时函数单调递减，所以③正确．
④g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]（x-2010），
所以g'（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]'（x-2010）+[（x-1）（x-2）…（x-2009）]，
所以g′（2010）=2009×2008×…×1=2009!所以④正确．
故选D．