Question

已知圆C1：x2+y2+2x-2y-2=0，圆C2：x2+y2-2x=0，直线l...

已知圆C1：x2+y2+2x-2y-2=0，圆C2：x2+y2-2x=0，直线l：mx+y+m=0（m∈R），设圆C1与圆C2相交于M，N （1）求线段MN的长； （2）已知点Q为圆C1上的动点，求S△QMN的最大值； （3）已知动点B（0，t），C（0，t-4）（0＜t＜4），直线PB，PC为圆C2的切线，点P在y轴右边，求△PBC面积的最小值．

Answer 1

解：（1）∵直线MN方程：2x-y-1=0
∴dc1→lMN=|-2-1-1|4+1=45，
∴MN=222-(45)2=455．…（4分）
（2）∵(dQ→lMN)max=dC1→MN+2=45+2，
∴(S△QMN)max=12MN•(dQ→lMN)max=12•455•(45+2)=85+455．…（8分）
（3）设P（x0，y0）（x0＞0），直线PB的方程为y=y0-tx 0x+t，即（y0-t）x-x0y+x0t=0．
由直线PB与圆M相切，得 |y0-t+x0t|(y0-t)2+x02=1，
化简得(x0-2)t2+2y0t=x0．（1）…（10分）
同理由直线PC与圆M相切，得 (x0-2)(t-4)2+2y0(t-4)=x0．（2）
由式（1），得 2y0=x0-(x0-2)t2t，…（12分）
由式（2），得2y0=x0-(x0-2)(t-4)2t-4，
从而x0=21+1t(t-4)．
又由0＜t＜4，∴-4≤t（t-4）＜0
∴1t(t-4)≤-14，∴x0≥83
△PBC面积为12(t-t+4)x0=2x0，∴△PBC面积的最小值163…（14分）