Question

极限计算问题？

如图，请给出步骤！

Answer 1

详细过程rt，希望能帮到你解决你现在的问题

Answer 2

分子有理化 得 [(1+x)^3-x^3]/{✔x *[(1+x)^3/2 +x^3/2]}
分子展开，分母乘开 ，然后分子分母同时除以x^2,可得极限是 3/2

Answer 3

Answer 4

极限

（数学术语）
编辑
极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。
中文名
极限
外文名
limit
应用领域
微积分
代表人物
柯西和魏尔斯特拉斯
数学符号
lim
目录
1 数列极限
▪ 定义
▪ 几何意义
▪ 对定义的理解
▪ 性质
▪ 单调收敛定理
▪ 柯西收敛原理
2 函数极限
▪ 自变量趋于有限值时函数的极限
▪ 自变量趋于无穷值时函数的极限
▪ 函数的左右极限
▪ 两个重要极限
▪ 运算法则
▪ 线性运算
▪ 非线性运算
3 极限思想
▪ 简介
▪ 产生与发展
▪ 极限思想的思维功能
▪ 建立的概念
▪ 解决问题的极限思想

数列极限
编辑

定义
设{xn}为一无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，均有

不等式成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。记作

或

。
如果上述条件不成立，就说数列{xn} 发散。[1] [2]

几何意义
若数列{xn}的极限为a，那么在以a为中心，任意给定的正数

为半径，数列

中的

项若在邻域（a-ε，a+ε）之外至多只有有限N个点，而有无限多个其他

都落在该邻域之内，则称数列{xn} 收敛于极限a。[3] 换句话说，如果存在某

，使数列{xn} 中有无穷多个项落在（a-ε，a+ε） 之外，则{xn} 一定不以a为极限。

对定义的理解
1、ε的任意性　定义中ε的作用在于衡量数列通项

与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越好；而正数ε可以任意地小，说明xn与常数a可以接近到任何程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它来求出N。又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都是任意小的正数，因此可用它们代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数。另外，定义中的

也可改写成

。
2、N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的（比如若n>N使

成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使

成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。另外，定义中的n>N也可改写成n≥N。
3、从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式

成立”意味着：所有下标大于N的

都落在（a-ε，a+ε）内；而在（a-ε，a+ε）之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。

性质
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；
2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。
但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，-1，1，-1，……，(-1)n+1 ，……
3、保号性：若

（或<0），则对任何

（a<0时则是

），存在N>0，使n>N时有

（相应的

）。
4、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ，使得当n>N时有

，则

（若条件换为

，结论不变）
5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列

也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
6、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列

收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

单调收敛定理
单调有界数列必收敛。[4]

柯西收敛原理
设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有

，这样的数列

便称为柯西数列。
这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即互为充分必要条件。

函数极限
编辑

自变量趋于有限值时函数的极限
定义 设函数

在点

的某一去心邻域内有定义，如果存在常数

，对于任意给定的正数

，总存在正数

，使得当

满足不等式

时，对应的函数值

都满足不等式

，那么常数

就叫做函数 当

时的极限，记作

。[1] [2]
解释：当

时

正好等于极限

，我们一定能证明

足够接近

时，

与极限

的差距小于任意小的指定误差。

自变量趋于无穷值时函数的极限

定义 设函数 当|x| 大于某一正数时有定义，如果存在常数

，对于任意给定的正数

，总存在正数M ，使得当x满足不等式

时，对应的函数值

都满足不等式

，那么常数

就叫做函数

当

时的极限，记作

。

函数的左右极限
1：如果当

从点

的左侧（即

）无限趋近于

时，函数

无限趋近于常数

，就说

是函数

在点

处的左极限，记作

。
2:如果当x从点

右侧（即

）无限趋近于点

时，函数

无限趋近于常数

，就说

是函数

在点

处的右极限，记作

。
若一个函数在

上的左右极限不同，则此函数在

上不存在极限
一个函数是否在

处存在极限，与它在x=x0处是否有定义无关，只要求

在

附近有定义即可。

两个重要极限
1、

2、

或

（其中

是一个无理数，也就是自然对数的底数）

运算法则
设

，

存在，且令

，则有以下运算法则，

线性运算
加减：

数乘：

　（其中c是一个常数）

非线性运算
乘除：

( 其中B≠0 )
幂运算：

极限思想
编辑

简介
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：
对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

产生与发展
（1）由来
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
（2）发展
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比

表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，

无限地接近于常数A，那么就说

以A为极限。”
这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。
正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δt是否等于零？如果说是零，怎么能用它去作除法呢？如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
（3）完善
极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。
到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。
首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f(x)的导数定义为差商

的极限f'(x)，他强调指出f'(x)不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。
到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。”
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。
柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。
为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓

，就是指：“如果对任何

，总存在自然数N，使得当

时，不等式

恒成立”。
这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯建立的ε－N语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。

极限思想的思维功能
极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。
无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。
“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。
曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。
量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。
近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。

建立的概念
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
（3）函数在点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式 的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
（5）广义积分 是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。

解决问题的极限思想
极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。
有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。