Question

离散数学题，证明，(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)

Answer 1

因为A⊕B
⇔(A-B)∪(B-A)
①
所以
(A⊕B)-C
⇔((A-B)∪(B-A)-C)
根据①
⇔(A-B-C)∪(B-A-C)
②
C-(A⊕B)
⇔C-(A-B)∪(B-A)
根据①
⇔C-(A-B)-(B-A)
⇔C∩(¬A∪B)∩(¬B∪A)
⇔((C∩¬A)∪(C∩B))∩(¬B∪A)
⇔((C∩¬A)∪(C∩B))∩¬B)∪(((C∩¬A)∪(C∩B))∩A)
⇔(C∩¬A∩¬B)∪(C∩B∩A)
⇔(C-A-B)∪(A∩B∩C)
③
所以
(A⊕B)⊕C
⇔((A⊕B)-C)∪(C-(A⊕B))
根据①做代换
⇔(A-B-C)∪(B-A-C)∪(C-A-B)∪(A∩B∩C)
而
A⊕(B⊕C)
⇔(A-B⊕C)∪(B⊕C-A)
根据①做代换
⇔(A-B-C)∪(A∩B∩C)∪(¬A∩B-C)∪(C-A-B)
分别根据③②做代换
显然两式等价
所以（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）结合律成立