Question

设A是阶矩阵,且满足A^3=2E,矩阵B=A^2-2A+4E求证B可逆,并且求出B^-1

14)(A+2E)的方式解，可以通过因为 A^3-6E=0 所以 A(A^2-2A+4E) +2A^2-4A -6E = 0 所以 A(A^2-2A+4E) +2(A^2-2A+4E) -14E = 0 所以 (A+2E)(A^2-2A+4E)=14E 所以 B=A^2-2A+4E可逆, 且B^-1 = (1/，但当A^3=2E时当A^3=6E时 题目错了。后面那个应该是 B=A^2-2A+2E

Answer 1

且
B^-1=(-1/5由于A^3=2E
所以B^-1可以由A的最高次项为A^2的多项式表示
即B^-1=aA^2+bA+cE
则B^-1B=(A^2-2A+2E)(aA^2+bA+cE)=E
即
aA^4+bA^3+cA^2-2aA^3-2bA^2-2cA+2aA^2+2bA+2cE=E.
所以
2aA+2bE+cA^2-4aE-2bA^2-2cA+2aA^2+2bA+2cE=E,c=-4/.
所以
B可逆;5)(A^2+3A+4E);5,b=-3/.
所以
(2a-2b+c)A^2+(2a+2b-2c)A+(-4a+2b+2c)E=E
所以
2a-2b+c=0
a+b-c=0
2a-b-c=1
有唯一解
a=-1/5