Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足2asinA=(2b+c)sinB+(2c

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.①角A为②若b=2，c=1，D为BC上一点，且CD=2DB，则AD长为？

Answer 1

（1）由正弦定理可知：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,（2R在同一个三角形中是恒量,是此三角形外接圆的半径的两倍）,所以有sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
,
这是条件一；
将条件一代入已知条件2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC,
则有：2a²/2R={(2b+c)*b}/2R+{(2c+b)*c}/2R,
整理得：a²=b²+c²+bc,
又由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bc*cosA；
所以有：
b²+c²-2bc*cosA=b²+c²+bc,所以cosA=-1/2,
所以角A=120°
（2）由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bc*cosA,可得a=根号7,
又CD＝2DB,所以DB=根号7/3,
sinB=根号21/7,cosB=2倍根号7/7,
所以AD²=c²+DB²-2*c*DB*cosB,
所以AD²=4/9,
所以AD=2/3