已知sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，其中θ为锐角，求证：cosθ=√...
已知sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，其中θ为锐角，求证：cosθ=√a2-1b2-1．...
已知sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，其中θ为锐角，求证：cosθ=√a2-1b2-1．
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证明：由题意得，a=sinθsinφ，b=tanθtanφ=sinθcosφcosθsinφ，
√a2-1b2-1=√(sinθsinφ)2-1(sinθcosφcosθsinφ)2-1=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θcos2φ-cos2θsin2φ
=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ(1-sin2φ)-cos2θsin2φ=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ-sin2θsin2φ-cos2θsin2φ
=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ-sin2φ(sin2θ+cos2θ)=√cos2θ，
又θ为锐角，所以√cos2θ=cosθ，
即cosθ=√a2-1b2-1成立．
√a2-1b2-1=√(sinθsinφ)2-1(sinθcosφcosθsinφ)2-1=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θcos2φ-cos2θsin2φ
=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ(1-sin2φ)-cos2θsin2φ=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ-sin2θsin2φ-cos2θsin2φ
=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ-sin2φ(sin2θ+cos2θ)=√cos2θ，
又θ为锐角，所以√cos2θ=cosθ，
即cosθ=√a2-1b2-1成立．
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