已知sinθ=asinφ,tanθ=btanφ,其中θ为锐角,求证:cosθ=√...
已知sinθ=asinφ,tanθ=btanφ,其中θ为锐角,求证:cosθ=√a2-1b2-1....
已知sinθ=asinφ,tanθ=btanφ,其中θ为锐角,求证:cosθ=√a2-1b2-1.
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证明:由题意得,a=sinθsinφ,b=tanθtanφ=sinθcosφcosθsinφ,
√a2-1b2-1=√(sinθsinφ)2-1(sinθcosφcosθsinφ)2-1=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θcos2φ-cos2θsin2φ
=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ(1-sin2φ)-cos2θsin2φ=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ-sin2θsin2φ-cos2θsin2φ
=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ-sin2φ(sin2θ+cos2θ)=√cos2θ,
又θ为锐角,所以√cos2θ=cosθ,
即cosθ=√a2-1b2-1成立.
√a2-1b2-1=√(sinθsinφ)2-1(sinθcosφcosθsinφ)2-1=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θcos2φ-cos2θsin2φ
=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ(1-sin2φ)-cos2θsin2φ=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ-sin2θsin2φ-cos2θsin2φ
=√cos2θ(sin2θ-sin2φ)sin2θ-sin2φ(sin2θ+cos2θ)=√cos2θ,
又θ为锐角,所以√cos2θ=cosθ,
即cosθ=√a2-1b2-1成立.
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