Question

已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图像上任意一点p

已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图像上任意一点P关于原点对称Q的轨迹恰好是函数f(x)的图像。 （1）写出函数g(x)的解析式； （2）当x属于【0，1】时总有f(x)+g(x)>=m成立，求m的取值范围。 答案为 1.g(x)=-loga(1-x) 2.m<=0 写出详细的过程

Answer 1

解：（1）设P（x,y)是函数y=g(x)图象上的任意一点
则P关于原点的对称点Q的坐标为（-x,-y)
∵已知点Q在函数f(x)的图像上
∴-y=f(-x)，而f(x)=loga(x+1)
∴-y=loga(-x+1)
∴y=-loga(-x+1)
而P（x,y)是函数y=g(x)图象上的点
∴y=g(x)=-loga(-x+1)=-loga(1-x)
（2）当x∈[0.1]时，
f(x)+g(x)=loga(x+1)-loga(1-x)
=loga[（1+x）/(1-x)]
下面求当x∈[0.1]时，f(x)+g(x)的最小值
令（1+x）/(1-x)=t,求得x=(t-1)/(t+1)
∵x∈[0.1]
∴0≤x≤1
即0≤(t-1)/(t+1)≤1，解得t≥1
∴（1+x）/(1-x)≥1，又a>1
∴loga[（1+x）/(1-x)])≥loga1=0
∴f(x)+g(x)≥0
∴当x∈[0.1]时，f(x)+g(x)的最小值为0
∵当x∈[0.1]时，总有f(x)+g(x)≥m成立
∴m≤0
∴所求m的取值范围：m≤0