Question

已知{an}为等差数列，{bn}为各项均是正数的等比数列，且a1=b1=1，a2...

已知{an}为等差数列，{bn}为各项均是正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3 求：（Ⅰ）数列{an}、{bn}的通项公式an、bn； （Ⅱ）数列{8anb2n}的前n项的和Sn．

Answer 1

解：（Ⅰ）
设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q（q＞0），得2a3=a2+a4，b32=b2•b4，

又a2+a4=b3，b2•b4=a3，
∴2b32=b3
∵bn＞0∴b3=12
由　b3=1•q2=12得q=22（2分）
由2a3=12，a1=1得：d=-38（4分）
∴an=118-38n，bn=21-n2（n∈N+）　　　（6分）
（Ⅱ）设cn=8an，dn=bn2显然数列{cn}是以8为首项，公差为-3的等差数列，数列{dn}是以1为首项，公比为12的等比数列，sn=c1d1+c2d2+…+cndn①等式两边同乘以12，
得12Sn=c1d2+c2d3+…+cn-1dn+cndn+1②
由①-②得12Sn=c1d1-3d2-3d3-…-3dn-cndn+1
=8-3•12(1-(12)n-1)1-12-(11-3n)•2-n
=5+3n-52n
因此　 Sn=10+3n-52n-1（n∈N+）　　　（9分）