Question

线性代数 这两题咋写啊？

线性代数

Answer 1

线性代数中遇到求相似矩阵的题目怎么做，利用相似矩阵的性质

相似矩阵，顾名思义，就是指存在相似关系的矩阵

一般来说，我们设A、B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B

那么我们就称A、B为相似矩阵

那么相似矩阵有哪些特性呢

一、反身性，A和A相似，那当然，A本来就是A，怎么可能不相似呢

二、对称性，这个也不用考虑太多，A和B相似，那B当然和A相似了

三、传递性，如果矩阵A和矩阵B相似，矩阵B又和矩阵C相似，那自然而然矩阵A和矩阵C相似

四、如果A和B相似，那么两者的秩、行列式的值都是相等的

五、也是比较重要的一点，两个矩阵相似，说明两个矩阵的特征值相等

话不多说，先给出一道实际例题来理解一下

图一

类似这道题，给出三个矩阵，让你判断这些矩阵是否相似

那么正如我在图中标出的那样，判断矩阵相似的关键点就在于特征值、特征向量和齐次方程组

为什么我会提到齐次方程组，原因有两点

其一，这三个矩阵的特征值都相等，那么就不能够简单的按照特征值来判断，要借助特征向量

其二，既然要借助特征向量，那么就要用到齐次方程组来求解，形如(2E-A)x=0这种

如图所示，就是详细的解释

图二

除了这道题，我还想给出另外一道题，也是特征值都相等的情况下，让我们判断矩阵是否相似

而且这道题有一个特殊之处，在于这些矩阵都不能够相似对角化

这种题目就比较麻烦了，是只能够通过判断有几个线性无关的特征向量来解决了

图三

总的来说，判断矩阵是否相似，关键在于基础部分，特征值和特征向量尤其重要，注意！