Question

关于导数与微分的几个问题

1.y= x^2 sin(1/x), x≠0
0, x=0
讨论函数在x=0处的可导性与连续性

2. ρ=θsinθ+1/2cosθ,求d ρ/dθ (θ= π/4)

3.求微分：y=arcsin根号下1-x^2 （这题答案是两个结果，一个在-1＜x＜0，另一个0＜x＜1，不明白啊）

教我一下解题过程，谢谢。

Answer 1

1。lim[x->0]|x²sin(1/x)/x|=lim[x->0]|xsin(1/x)|≤lim[x->0]|x|=0
所以y'(0)=lim[x->0](x²sin(1/x)-0)/x=0
即函数在x=0处可导,且导数为0，从而在x=0处连续

2。你这里的1/2cosθ是(cosθ)/2还是1/(2cosθ)，我暂且当成(cosθ)/2
dρ/dθ=sinθ+θcosθ-sinθ/2
dρ/dθ|θ=π/4=√2/2+π√2/8-√2/4=√2/4+π√2/8

3。复合函数求导
(arcsin√(1-x²))'=1/√(1-(1-x²))*(√(1-x²))'(注意√x²=|x|而不是x)
=1/|x|*1/(2√(1-x²))*(-2x)
=-(x/|x|)/√(1-x²)
注意原函数的定义域是-1≤x≤1
当-1≤x<0时,x/|x|=-1，此时y'=1/√(1-x²)
当0<x≤1时,x/|x|=1，此时y'=-1/√(1-x²)

Answer 2

自己想