Question

有第一类间断点的函数一定没有原函数吗?

Answer 1

有导数连续定理。

设f(x)在x0的某个邻域上连续，且在该邻域上除去x0这一点之外都可导，其导数为f'(x)。如果当x趋于x0时f'(x)有极限，则f(x)在x0这一点也可导，并且有f'(x0)=lim(x→x0)f'(x)。

根据这个定理我们马上知道，如果一个函数在某个区间上可导，它的导数在该区间上不会有第一类间断点。换句话说，在区间上有第一类间断点就没有原函数。

间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。左右极限存在且相等是可去间断点，左右极限存在且不相等才是跳跃间断点。

函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。

由上述对间断点的描述可知，函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。

函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

Answer 2

是的。但是它的严格叙述是：

如果f(x)在区问(a,b)内的每一点都可导，则f'(x)在(a,b)内没有第一类间断点。

因此，f(x)=|x|时，

它的导数f'(x)满足：

当x>0时，f'(x)=1；

当x<0时，f'(x)=-1；

当x=0时，f'(x)=f'(0)=不存在。

虽然x=0是f'(x)的第一类间断点，但这种不算。我们说导数没有第一类间断点，是指的导数在每一点都存在时，他没有第一类间断点，并不包括这种在一个点导数不存在这样的间断点。

Answer 3

有导数连续定理。

设f(x)在x0的某个邻域上连续，且在该邻域上除去x0这一点之外都可导，其导数为f'(x)。如果当x趋于x0时f'(x)有极限，则f(x)在x0这一点也可导，并且有f'(x0)=lim(x→x0)f'(x)。

根据这个定理我们马上知道，如果一个函数在某个区间上可导，它的导数在该区间上不会有第一类间断点。换句话说，在区间上有第一类间断点就没有原函数。

间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。左右极限存在且相等是可去间断点，左右极限存在且不相等才是跳跃间断点。