Question

定义在闭区间上的函数一定有界吗？

Answer 1

函数在闭区间上连续，函数的极限存在，函数在x0的某一邻域内有界(函数极限的局部有界性)。

证明：

反证法：

设函数f(x)在闭区间[a,b]连续，函数在[a,b]无界，将[a,b]划分为[a,a+b/2][a+b/2,b]，设函数在[a,a+b/2]无界(函数不可能在两个闭区间有界)，设a=a1，a+b/2=b1。

将[a1,b1]划分为[a1,a1+b1/2][a1+b1/2,b1]，设函数在[a1,a1+b1/2]无界，设a1=a2，

a1+b1/2=b2......

得到{[an,bn]}

f(x)在 {[an,bn]} 无界，∃ ξ ∈[an,bn]，且lim(n->∞)an=lim(n->∞)bn= ξ 

由于ξ ∈[an,bn]，即ξ ∈[a,b]，f(x)在ξ的某一邻域内极限存在，即∃常数M＞0和δ ＞0，使得当x∈U( ξ,δ)∩[a,b]成立时，有|f(x)|≤M (函数极限的局部有界性)。

当n充分大时，[an,bn]∈U( ξ,δ)∩[a,b]，与假设矛盾。

所以函数f(x)在[a,b]连续，f(x)在[a,b]有界。

Answer 2

定义在闭区间上的连续函数一定有界，如果不是连续函数不一定有界。