Question

证明 已知a＞0 b＞0 求证（ a／根号b）+（b／根号a）大于等于根号a+根号b

Answer 1

左边平方，等于
a^2/b+b^2/a+2根号ab
右边平方后是a+b+2根号ab
这样只须证
a^2/b+b^2/a>=a+b
把右边的移过来，是
(a^2-b^2)/b+(b^2-a^2)/a
(a^2-b^2)(1/b-1/a)=(a^2-b^2)(a-b)/ab=(a-b)^2(a+b)/ab
因为(a-b)^2>=0,(a+b)>0,ab>0
所以左>=右，以上步步得证

因此左大于等于右，当a=b时取等号

Answer 2

作差：
a/√b+b/√a-√a-√b通分得：
(a√a+b√b-a√b-b√a)/√ab
=[a(√a-√b)+b(√b-√a)]/√ab
=(√a-√b)(a-b)/√ab
=(√a-√b)(√a-√b)(√a+√b)/√ab(平方差公式)
=(√a-√b)^2*(√a+√b)/√ab≥0

所以结论成立。