设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)有相同的秩，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出.证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.
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【答案】：证 两向量等价是指它们可以互相线性表出，现已知(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出，因此只要证明(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出.又因为向量组与它的极大无关组等价，故只要证明(Ⅱ)的极大无关组可以由(Ⅰ)的极大无关组线性表出.
设(Ⅰ')：α1，…，αr为(Ⅰ)的极大无关组，(Ⅱ')：β1，…，βr为(Ⅱ)的极大无关组(其中已设r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r).则由题设知(Ⅰ')可由(Ⅱ')线性表出.因此，向量组α1，…，αr，β1可由(Ⅱ')线性表出，(Ⅱ')含r个向量，r+1＞r，故由定理3.10的(1) 可知向量组α，…，αr，β1线性相关，又α1，…，αr线性无关，故β1可由α1…，αr线性表出.同理可证βi可由αi，…，αr线性表出(i=2，…，r).所以，向量组(Ⅱ')可由向量组(Ⅰ')线性表出.等价的向量组有相同的秩，但反之不真.本题对相同的秩的两个向量组，附加了其中有一个可由另一个线性表出的条件，便推得此时两向量组是等价的.
设(Ⅰ')：α1，…，αr为(Ⅰ)的极大无关组，(Ⅱ')：β1，…，βr为(Ⅱ)的极大无关组(其中已设r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r).则由题设知(Ⅰ')可由(Ⅱ')线性表出.因此，向量组α1，…，αr，β1可由(Ⅱ')线性表出，(Ⅱ')含r个向量，r+1＞r，故由定理3.10的(1) 可知向量组α，…，αr，β1线性相关，又α1，…，αr线性无关，故β1可由α1…，αr线性表出.同理可证βi可由αi，…，αr线性表出(i=2，…，r).所以，向量组(Ⅱ')可由向量组(Ⅰ')线性表出.等价的向量组有相同的秩，但反之不真.本题对相同的秩的两个向量组，附加了其中有一个可由另一个线性表出的条件，便推得此时两向量组是等价的.
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