Question

实对称矩阵A的特征向量 是只对重根进行施密特正交化吗？

Answer 1

实对阵矩阵，其不同特征值对应的特征向量是自然正交的，所以，不需要通过施密特正交法来正交化，而只需要对重根对应的特征向量正交化。

引申一下

不同特征值对应的特征向量相互正交，是实对称矩阵的一个重要属性，而且从这个属性出发可以证明实对称矩阵的另一个属性：实对称矩阵必可相似对角化。对于一个 n 维矩阵，其可相似对角化的充分且必要条件是——具有 n 个线性无关的特征向量。如果一个 n 维矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交，那么这个矩阵不同特征值对应的特征向量之间线性无关，即该矩阵具有 n 个线性无关的特征向量，则该矩阵可相似对角化。所以，实对称矩阵必可相似对角化。

追问

不好意思 才看到这个有人回答了
假如λ1=λ2 λ3=λ4 ，有两对2重根 ，是λ1和λ2单独正交化，然后λ3=λ4单独正交化吗

追答

是的。

追问

好的，还有个问题可以回答一下吗 在另一个提问里 谢谢 实在是做懵逼了 这块的练习册答案不唯一，每次我都不知道自己做的对不对

Answer 2

既然已经知道A是实对阵矩阵
那么其不同特征值
对应的特征向量肯定就是正交的
所以不需要进行施密特正交化
而只需要对重根对应的特征向量
进行正交化之后
得到的就是正交的特征向量

Answer 3

对的。不同特征根下的特征向量是线性无关的