Question

证明当1<x<e^2时，恒有x<(2+lnx)/(2-lnx)成立。

还有加分。

Answer 1

证明：
1
0
构造函数
f(x)=(2+lnx)-x*(2-lnx)
f(1)=(2+0)-1*(2-0)=0
f'(x)=1/x-(2-lnx)-x*(-1/x)
=1/x-1+lnx=g(x)
g(1)=1-1+0=0
g'(x)=-1/x²+1/x=(x-1)/x²>0
所以
g'(x)在(1,e²)上恒正，
所以
g(x)
在(1,e²)上递增
所以
g(x)>g(1)=0
即
f'(x)在(1,e²)恒正，
所以
f(x)在(1,e²)递增
所以
f(x)>g(1)=0恒成立
即
(2+lnx)-x*(2-lnx)>0
即
(2+lnx)>x*(2-lnx)
因为
2-lnx>0
所以
x<(2+lnx)/(2-lnx)