Question

已知数列{an},a1=2,an+1=4an+2n+1,求{an}的通项公式

已知数列{an},a1=2,an+1=4an+2^n+1,求{an}的通项公式，这种题可以用迭代法和构造法来求， 构造法怎么求，有谁介绍下。。。。 急！！

Answer 1

这题假设an+k*2^n+b为等比数列
且an+1 + k*2^n+1 + b=4（an+k*2^n+b）
整理得an+1=4an+ k*2^n+1 + 3b
对比原式得2k=1,3b=1
因此an+ 2^n-1 + 1/3为等比数列，首项为10/3
所以an+ 2^n-1 + 1/3=10/3 * 4^(n-1)

以上过程不知道有没有错误，但是方法是一定的。就是构造出来等比数列，具体原等式中有什么类型的式子，构造的时候要有什么。可以用待定系数法解题，就是这样了。
PS：楼主我不建议用迭代法，因为数列通项公式求解过程中往往会遇到各种细微问题，比如可以使用公式的项n 的限制，这点迭代法很不容易注意到，而导致错误，更何况迭代法运算量不低。以上构造法至少能避开这些诸多问题。数学方法有优劣之分，实际解题里面，利于解题者分析的方法才是好方法。