Question

高数和函数求解？

Answer 1

如图所示

Answer 2

分享解法如下。设t=(2x+1)/4。则，原式=S(t)=∑(1/n)t^(n+1)。再设an=1/n。
∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n/(n+1)=1。∴其收敛半径R=1/ρ=1。
又，lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨t丨/R<1，∴其收敛区间丨t丨<R=1。t=1时发散，t=-1时收敛。∴-1≤t<1，即-5/2≤x<3/2。

而，在其收敛区间，S(t)=t∑(1/n)t^n=t∑∫(0,t)t^(n-1)dt=t∫(0,t)∑t^(n-1)dt。
∵∑t^(n-1)=1/(1-t)。∴S(t)=t∫(0,t)dt/(1-t)=-tln(1-t)。∴原式=[(2x+1)/2]ln2-[(2x+1)/4]ln(3-2x)，其中-5/2≤x<3/2。

Answer 3

记 S(x) = ∑<n=1,∞> (2x+1)^(n+1)/(n4^n)
= (2x+1)∑<n=1,∞> (2x+1)^n/(n4^n), S(-1/2) = 0.
则 S'(x) = 2∑<n=1,∞> (2x+1)^n/(n4^n)
+(2x+1)∑<n=1,∞> 2(2x+1)^(n-1)/(4^n)
= 2∑<n=1,∞> (2x+1)^n/(n4^n)
+[(2x+1)/2]∑<n=1,∞> [(2x+1)/4]^(n-1)
其中 后者 = [(2x+1)/2]/[1-(2x+1)/4] = -2 + 8/(3-2x),
收敛域 -1< (2x+1)/4 < 1, -5/2 < x < 3/2.
S'(x) = 2∑<n=1,∞> (2x+1)^n/(n4^n) - 2 + 8/(3-2x) , S'(-1/2) = 0.
S''(x) = ∑<n=1,∞> [(2x+1)/4]^(n-1) + 16/(3-2x)^2
= 4/(3-2x) - 16/(3-2x)^2 , 收敛域 -5/2 < x < 3/2.
S'(x) = ∫<-1/2, x>[4/(3-2t)+16/(3-2t)^2]dt + S'(-1/2)
= [-2ln(3-2t)+8/(3-2t)]<-1/2, x> + 0
= -2ln(3-2x)+8/(3-2x)+4ln2-2,
S(x) = ∫<-1/2, x>{-2ln(3-2t)+8/(3-2t)+4ln2-2}dt + S(-1/2)

= [(3-2t)ln(3-2t)-4ln(3-2t)+(4ln2)t]<-1/2, x> + 0
= (3-2x)ln(3-2x)-4ln(3-2x)+(4ln2)x+2ln2
= -(1+2x)ln|3-2x| + (4ln2)x+2ln2