Question

用数学归纳法证明 1²+2²+3²+......+N²=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 1

下面用数学归纳法证明：
n=1时，1^2=1*（1+1）*（2*1+1)/6恒成立；
n=2时，……
假设当n=k时，1^2+2^2+3^2+……+k^2=k*(k+1)*(2*k+1)/6成立，那么
当n=k+1时，有1^2+2^2+3^2+……+k^2+（k+1）^2=k*(k+1)*(2*k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)*(k+2)*(2*k+3)/6 即证得当n=k+1时也该等式也成立；
综上述 ， 可以得出结论……

不过学以致用 ，只要多思考就会有收获，不用数学归纳法也可直接证明：
下面令{A[n]}为满足通项A[n]=1^2+2^2+3^2+……+n^2的数列
由公式
(n+1)^3-n^3=(n+1-n)*[(n+1)^2+n*(n+1)+n^2]=(n+1)^2+n*(n+1)+n^2=(n+1)^2+n^2+n^2+n=(n+1)^2+2*n^2+n…………………………………………………①
∴
（n)^3-(n-1)^3=n^2+2*(n-1)^2+(n-1)……………………………………②
（n-1)^3-(n-2)^3=(n-1)^2+2*(n-2)^2+(n-2)……………………………③
………………………………
………………………………
以此类推
3^3-2^3=3^2+2*2^2+2……………………………………（式n-1）
2^3-1^3=2^2+2*1^2+1……………………………………（式n）
以上式子左右相加
得（n+1）^3-1^3=[(2^2+3^+……+n^2)+（n+1）^2]+2*(1^2+2^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)
移项
化简整理得
A[n]=[2*(n+1)^3-(n+1)*n-2*(n+1)^2]/6
=n*(n+1)*(2*n+1)/6
即证得

Answer 2

证:
n=1时,1²=1*2*3/6,成立
设n=k时,有1²+2²+3²+......+k²=k(k+1)(2k+1)/6
则当n=k+1时,
左边=1²+2²+3²+......+k²+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²
=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²]/6
=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6
=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6=右边
综上可知:
不论n为何正整数, 1²+2²+3²+......+n²=n(n+1)(2n+1)/6均成立
原命题得证