Question

曲线的凹凸性及拐点（基础篇）

Answer 1

定义：设函数y=f(x)在(a,b)内可导

(1)如果曲线y=f(x)在(a,b)内任意点的切线总位于曲线的下方,则称曲线y=f(x)在(a,b)上是凹的

(2)如果曲线y=f(x)在(a,b)内任意点的切线总位于曲线的上方,则称曲线y=f(x)在(a,b)上是凸的

定义：连续曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点

如果函数y=f(x)在(a,b)内二阶可导,则可利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性

定理：设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内存在二阶导数

(1)如果在(a,b)内 f ' '(x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)上是凹的;

(2)如果在(a,b)内 f ' '(x)<0,则曲线y=f(x)在(a,b)上是凸的

(1)由 定理 可知,在拐点左右两侧 f ' ' (x)的符号必然异号且有:

点(xo,yo)是曲线f(x)的拐点 充分不必要 f ' '(x)=0或(x)不存在

(2)由于定理中的f(x)在[a,b]上连续,凹凸区间(a,b)也可写为[a,b]

(3)拐点的表示形式为(x,y),注意与极值点的表示区分开

求函数拐点的一般步骤:

①确定函数的定义域;

②求出 f ' ' (x)=0的点和 f ' ' (x)不存在的点;

③以上述点为分点将定义域分成若干个子区间,并讨论 f ' '(x)在各个区间内的符号,从而确定函数的凹凸区间和拐点